Забором длиной 120 м надо огородить огород наибольшей площади: каковы его размеры? - коротко
Оптимальная форма огорода для максимальной площади при длине забора 120 м — квадрат со сторонами 30 м. В этом случае площадь составит 900 м².
Забором длиной 120 м надо огородить огород наибольшей площади: каковы его размеры? - развернуто
Чтобы определить размеры огорода наибольшей площади при заданной длине забора 120 метров, необходимо рассмотреть оптимальную геометрическую форму. Наибольшую площадь при фиксированном периметре имеет круг, однако для огорода более практичной и распространённой формой является прямоугольник. В таком случае задача сводится к поиску прямоугольника с максимальной площадью при периметре 120 м.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле ( P = 2(a + b) ), где ( a ) и ( b ) — длины сторон. Подставив значение периметра, получаем уравнение ( 2(a + b) = 120 ), откуда ( a + b = 60 ). Площадь прямоугольника ( S = a \times b ). Чтобы найти максимум площади, выразим одну из переменных через другую: ( b = 60 - a ). Тогда площадь принимает вид ( S(a) = a(60 - a) = 60a - a^2 ).
Эта квадратичная функция достигает максимума в вершине параболы. Координата вершины для уравнения ( S(a) = -a^2 + 60a ) определяется по формуле ( a = -\frac{60}{-2} = 30 ) метров. Соответственно, ( b = 60 - 30 = 30 ) метров. Таким образом, прямоугольник с максимальной площадью — это квадрат со стороной 30 метров, а его площадь составляет ( 30 \times 30 = 900 ) квадратных метров.
Если рассматривать другие формы, например, прямоугольник с неравными сторонами, площадь будет меньше. Например, при ( a = 40 ) метров и ( b = 20 ) метров периметр останется 120 метров, но площадь уменьшится до 800 квадратных метров. Это подтверждает, что квадрат действительно даёт наибольшую площадь при заданном периметре.
Если же использовать круг, его площадь будет ещё больше. Длина окружности ( C = 2\pi r = 120 ) метров, откуда радиус ( r = \frac{60}{\pi} ) метров. Тогда площадь круга составит ( \pi r^2 = \frac{3600}{\pi} \approx 1146 ) квадратных метров. Однако при строительстве ограждения круг редко применяется из-за сложности разметки и неудобства использования угловых участков. Поэтому прямоугольная, а точнее квадратная форма, остаётся оптимальным решением для огорода.