Вы сидите на уроке математики и пытаетесь пройти последний контрольный. Вопросы на странице 1 не были слишком сложными, но на второй странице вы видите график с двумя маленькими точками, помеченными как «Точка 1» и «Точка 2». И они соединены диагональной линией.
Пот стекает по вашему лбу, когда вы читаете подсказку: «Найдите расстояние между этими точками».
Не паникуйте - вам даже не нужен калькулятор расстояния, чтобы справиться с этим. Формула расстояния, которую вы ищете, довольно проста и связана с одним из самых полезных и известных понятий во всей математике: теоремой Пифагора.
Теорема Пифагора связана с формулой расстояния
Теорема Пифагора была названа в честь греческого философа Пифагора. Но он не может взять на себя единоличную ответственность за его открытие. Старый Пифагор жил примерно с 570 по 490 год до н. э. Тем не менее, более чем за 1000 лет до его рождения древние вавилоняне уже знали о геометрическом принципе, который теперь носит его имя.
Для тех, кому нужно быстро освежить в памяти, теорема Пифагора гласит:
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов на остальных сторонах.
Нам нужно распаковать пару вещей. Прямоугольный треугольник, также известный как прямоугольный треугольник, представляет собой треугольник, который содержит один угол в 90 градусов, также известный как прямой угол. Самая длинная линия прямоугольного треугольника называется гипотенузой. (Это линия, расположенная на противоположной стороне прямого угла.)
Как мы все знаем, у треугольника может быть три стороны, а у квадрата четыре.
Представьте, что вы взяли гипотенузу прямоугольного треугольника и превратили ее в одну из четырех линий совершенно нового квадрата. Затем проделайте то же самое с двумя другими сторонами исходного треугольника. Вы получите три отдельных квадрата.
Как показывает теорема Пифагора, квадрат, который вы только что построили с помощью гипотенузы, будет иметь ту же площадь, что и два других квадрата, вместе взятые. Если бы гипотенуза была обозначена буквой «с», а остальные отрезки были обозначены буквами «а» и «b», то мы могли бы выразить эту идею следующим образом:
Формула расстояния и координатная плоскость точки
Когда большинство людей слышат слово "график", они представляют себе диаграмму с двумя линиями - вертикальной и горизонтальной, пересекающимися под прямым углом.
Вертикальная линия называется осью Y, а ее горизонтальная копия - осью X. Обе линии работают вместе, чтобы рассказать историю с данными. Просто взгляните на этот юмористический график от художника-карикатуриста Хорхе Чама о чьем-то не слишком расслабляющем отпуске, где ось Y отмечена как «стресс», а ось X - «время».
Чтобы понять, где находится одна точка на вашем графике, вам нужно измерить, где она находится по двум измерениям (оси x и оси y). Они известны как координаты точки. Вам нужно найти координаты для первой точки и второй точки, прежде чем вы сможете вычислить расстояние между ними. Вы будете использовать формулу расстояния для измерения отрезка прямой линии, соединяющего две точки.
Как вывести формулу расстояния
Хватит преамбулы. Вопрос, на который вы хотите получить ответ, заключается в том, как найти расстояние между двумя точками на графике (т. е. двумя наборами двух координат).
Каждая из первой и второй точек на вашем графике будет иметь координату x и координату y. Вы можете рассчитать кратчайшее расстояние между этими двумя точками, используя формулуевклидова расстояния, которая представляет собой алгебраическое выражение, связанное с теоремой Пифагора. Вот оно, ребята:
D=√(x2-x1)2+ (y2-y1)2
Обратите внимание, что "D" означает "расстояние". Что касается x2и x1, они относятся к координатам x точки 2 и точки 1 соответственно. То же самое касается y2и y1, за исключением того, что это две координаты y.
Итак, чтобы рассчитать расстояние, наш первый шаг - вычесть x1из x2Затем мы должны умножить полученное число само на себя (или, другими словами, «возвести в квадрат» это число). После этого мы должны вычесть y1из y2, а затем возвести результат в квадрат.
Это оставит нам два числа, которые мы должны сложить. Затем, наконец, возьмите это число и найдите его квадратный корень. И этот квадратный корень, дамы и господа, и есть наше расстояние.
Вычисление расстояния между двумя точками
Хорошо, допустим, точка 1 имеет координату x 2 и координату y 5. Предположим также, что координата точки 2 x равна 9, а координата y равна 13.
Подставьте эти значения в удобную формулу денди, и вы получите следующее:
D=√(9-2)2+ (13-5)2
Сколько будет 9 минус 2? Легко, 7. И 13 минус 5, конечно же, 8.
Итак, теперь у нас осталось это:
D=√72+ 82
Если «возвести в квадрат» 7 - например, умножить число само на себя - получится 49. Что касается 8 в квадрате, то получится 64. Давайте подставим эти значения в уравнение, а?
D=√49 + 64
Теперь мы готовим. Сложите 49 и 64, и вы получите 113.
D=√113
Что такое квадратный корень из 113? Ответ 10,63, поэтому:
D=10,63
Иди вперед и пройди этот тест!
Интересно
Пифагор был вегетарианцем. Как пишет Тристам Стюарт в своей книге 2008 года «Бескровная революция: культурная история вегетарианства: с 1600 года до наших дней», древнегреческий философ разделял «представление о том, что все живые существа родственны, и, как следствие, о том, что оно ошибочно». причинять страдания животным."