Если вы смутно помните урок математики в начальной школе, возможно, вы не помните, что такоепростое число. Жаль, потому что, если вы пытаетесь защитить свою электронную почту от хакеров или конфиденциально просматривать веб-страницы в виртуальной частной сети (VPN), вы используете простые числа, даже не осознавая этого.
Это потому, что простые числа являются важной частью шифрования RSA, распространенного инструмента для защиты информации, который использует простые числа в качестве ключей для разблокировки сообщений, скрытых в гигантских количествах того, что замаскировано под цифровую тарабарщину. Кроме того, простые числа имеют и другие применения в современном технологическом мире, в том числе важную роль в определении интенсивности цвета пикселей на экране компьютера, на который вы сейчас смотрите.
Что такое простое число?
Итак, что такое простые числа? И как простые числа стали такими важными в современном мире?
Как объясняет Wolfram MathWorld, простое число, также известное просто как простое число, представляет собой положительное число больше 1, которое можно разделить только на единицу и само на себя. Число 1 не является ни простым, ни составным числом.
Хороший способ запомнить это - знать, что простое число нельзя разделить ни на какие другие положительные натуральные числа без остатка, десятичной дроби или дроби. Возьмем в качестве примера простое число 13. У него всего два делителя: 1 и 13. 13 ÷ 6=2 с остатком 1. Деление простого числа на любое другое натуральное число приводит к оставшимся числам.
Почему 2 - единственное четное простое число?
«Единственное четное простое число - это 2», - говорит Деби Минк, недавно вышедшая на пенсию адъюнкт-профессор педагогики Юго-восточного университета Индианы, чей опыт включает преподавание элементарной математики.«Все остальные простые числа - нечетные числа». Это потому, что они имеют более двух факторов. Итак, давайте посмотрим на это.
Все четные числа являются составными числами. 2 - единственное четное простое число, потому что оно имеет не более двух делителей - его делителями являются только 1 и само число 2. Чтобы число считалось простым, оно должно иметь ровно два делителя. Поскольку число 2 имеет ровно два делителя, 1 и само число 2, это простое число.
Числа вроде 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17 считаются простыми числами, потому что они имеют ровно два делителя: 1 и само число. Такие числа, как 4, 6, 8, 9, 10 и 12, не являются простыми числами, потому что они имеют более двух делителей.
В чем разница между простыми и составными числами?
Составные числа противоположны простым числам. Они могут делиться на другие числа, кроме 1 и самих себя.
Марк Зегарелли, автор многочисленных книг по математике из популярной серии «Для чайников», который также ведет курсы по подготовке к экзаменам, предлагает иллюстрацию с изображением монет, которую он использует с некоторыми из своих учеников, чтобы объяснить разницу между простыми числами и составные числа.
«Подумайте о числе 6», - говорит Зегарелли, цитируя составное число. «Представьте, что у вас есть шесть монет. Вы можете сложить их в прямоугольник с двумя рядами по три монеты. Вы можете сделать то же самое с восемью, разложив четыре монеты в два ряда. более одного типа прямоугольника - у вас может быть два ряда по шесть монет или три раза по четыре."
«Но если вы возьмете число 5, как бы вы ни старались, вы не сможете поместить его в прямоугольник», - отмечает Зегарелли. «Лучшее, что вы можете сделать, это выстроить его в линию, один ряд из пяти монет. Таким образом, вы можете назвать 5 непрямоугольным числом. Но проще сказать, что это простое число».
Есть много других простых чисел - 2, 3, 7 и 11 также находятся в списке, и он продолжает двигаться оттуда. Греческий математик Евклид примерно в 300 г. до н. э. разработал Доказательство бесконечности простых чисел, которое, возможно, было первым математическим доказательством того, что существует бесконечное число простых чисел.(В Древней Греции, где современная концепция бесконечности не была полностью понята, Евклид описывал количество простых чисел просто как «больше, чем любое заданное множество простых чисел».)
Еще один способ понять простые числа и их составные - рассматривать их как произведение множителей, говорит Зегарелли. «2 умножить на 3 равно 6, поэтому 2 и 3 - делители 6. Итак, есть два способа сделать шесть - 1 умножить на 6 и 2 умножить на 3. Мне нравится думать о них как о паре множителей. число, у вас есть несколько пар множителей, а с простым числом у вас есть только одна пара множителей, умноженная на само число."
Доказать, что список простых чисел бесконечен, не так уж сложно, говорит Зегарелли. «Представьте, что существует последнее самое большое простое число. Мы назовем его P. Тогда я возьму все простые числа до P и перемножу их все вместе. Если я сделаю это и прибавлю единицу к произведению, это число должно быть простым."
Если число является составным числом, то оно всегда делится на некоторое количество младших простых чисел. «Композит может делиться и на другие композиты, но, в конце концов, вы можете разложить его на набор простых чисел». (Пример: число 48 имеет ровно два делителя, 6 и 8, но вы можете разбить его еще на более чем два делителя: 2 раза 3 раза 2 раза 2 раза 2.)
Что такое сито Эратосфена?
Решето Эратосфена - это метод, введенный греческим математиком Эратосфеном в третьем веке до н. э. и используемый для нахождения простых и составных чисел среди группы чисел.
Решето Эратосфена основано на идее, что числа, кратные простому числу, сами по себе не являются простыми. Итак, при поиске простых чисел можно зачеркнуть все кратные каждому простому числу. Это устраняет многие числа, которые в противном случае были бы опробованы без всякой причины, поэтому решето Эратосфена может сэкономить много времени.
Список простых чисел от 1 до 100
Между числами от 1 до 100 всего 25 простых чисел:
- Простые числа от 1 до 10: 2, 3, 5, 7
- Простые числа от 11 до 20: 11, 13, 17, 19
- Простые числа от 21 до 30: 23, 29
- Простые числа от 31 до 40: 31, 37
- Простые числа от 41 до 50: 41, 43, 47
- Простые числа от 51 до 100: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Почему важны простые числа
Так почему же простые числа так восхищали математиков на протяжении тысячелетий? Как объясняет Зегарелли, большая часть высшей математики основана на простых числах. Но есть также криптография, в которой простые числа имеют решающее значение, потому что действительно большие числа обладают особенно ценной характеристикой. По его словам, не существует быстрого и простого способа определить, являются ли числа простыми или составными.
Трудность различения огромных простых чисел и огромных составных чисел позволяет криптографу придумывать огромные составные числа, являющиеся множителями двух очень больших простых чисел, состоящих из сотен цифр.
«Представьте, что замок на вашей двери - это число из 400 цифр», - говорит Зегарелли. «Ключ - это одно из 200-значных чисел, которые использовались для создания этого 400-значного числа. Если у меня есть один из этих факторов в кармане, у меня есть ключ от дома. У меня нет этих факторов, попасть туда чертовски сложно."
Вот почему математики продолжают работать над поиском все более крупных простых чисел в продолжающемся проекте под названием «Великий Интернет-поиск простых чисел Мерсенна». В 2018 году этот проект привел к открытию простого числа, состоящего из 23 249 425 цифр, чего достаточно, чтобы заполнить 9 000 книжных страниц, как описал его математик из Портсмутского университета (Англия) Иттай Вайс в «Разговоре». Потребовалось 14 лет вычислений, чтобы получить гигантское простое число, которое более чем в 230 000 раз превышает предполагаемое количество атомов в наблюдаемой Вселенной!
Вы можете себе представить, какое впечатление это может произвести на Евклида.
Вот это круто
Хотя многие считали, что простые числа случайны, в статье 2016 года два математика из Стэнфордского университета описали ранее неизвестную очевидную закономерность, в которой за простыми числами обычно следуют другие простые числа, оканчивающиеся на определенные цифры, как это Детали проводной статьи. Например, среди первого миллиарда простых чисел вероятность того, что за простым числом, оканчивающимся на 9, следует простое число, оканчивающееся на единицу, примерно на 65 % выше, чем за простым числом, оканчивающимся на девять.
Часто задаваемые вопросы
Что такое простое число в математике?
Простым числом называется положительное целое число, имеющее только два целых положительных делителя: 1 и само себя.
Почему 9 не является простым числом?
9 не является простым числом, потому что делится на 3.