Математики занимаются решением задач. В процессе этих попыток решения проблем они исследуют идеи и иногда придумывают другие математические задачи, над которыми можно поработать. На решение некоторых из этих задач у нескольких поколений математиков может уйти вся их карьера, а некоторые требуют помощи суперкомпьютера. Другие кажутся просто неразрешимыми, хотя общее мнение состоит в том, что в конце концов мы должны решить все математические задачи.
История нерешенной математической задачи
Гипотеза Коллатца, или «проблема 3n+1», до сих пор не решена. Гипотеза Коллатца, введенная в 1937 году немецким математиком Лотаром Коллатцем, представляет собой, казалось бы, простой вопрос с удивительно неуловимым ответом. Гипотеза утверждает, что если вы повторите две простые арифметические операции, вы в конечном итоге превратите каждое положительное целое число в единицу. Проблема в том, что еще не доказано, что это верно для всех целых чисел. Может быть, с каким-то числом последовательность убегает в бесконечность.
Математики проверили миллионы натуральных чисел, и никто не доказал их ошибочность. Но никто не доказал и его безоговорочную правильность. Легендарный венгерский математик Пауль Эрдос сказал: «Математика может быть не готова к таким задачам».
Коллац выдвинул свою гипотезу всего через два года после получения докторской степени в Берлинском университете. Для человека, проделавшего за свою карьеру так много важной математической работы, то, что он известен новизной задачи, которую можно было проверить группой четвероклассников, - это замечательно. Хотя все расчеты подтверждают, что гипотеза верна, тот факт, что она остается нерешенной в течение 86 лет, делает ее еще более интригующей.
Почему гипотезу Коллатца также называют последовательностью «3n + 1»?
Последовательность Коллатца также называют последовательностью «3n + 1», потому что она генерируется, начиная с любого положительного числа и следуя всего двум простым правилам: если оно четное, разделите его на два, а если оно нечетное, утроите это и добавить один. Следовательно, «3n + 1». Следуйте этим двум правилам снова и снова, и гипотеза гласит, что независимо от начального номера вы всегда в конечном итоге достигнете номера один.
Например, начните с цифры семь. Это нечетное число, поэтому вы применяете к нему старую обработку 3n + 1, что равно 22. Это четное число, а это значит, что вы должны разделить его пополам, что дает нам 11. Вот расчет для остальной части последовательности.:
11 x 3=33 + 1=34
34 / 2=17
17 x 3=51 + 1=52
52 / 2=26
26 / 2=13
13 x 3=39 + 1=40
40 / 2=20
20 / 2=10
10 / 2=5
5 x 3=15 + 1=16
16 / 2=8
8 / 2=4
4 / 2=2
2 / 2=1
Итак, если вы начнете с числа семь, последовательность Коллатца будет 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2., 1. Если вы делаете это снова из числа один, нечетное число, вы умножаете на три и прибавляете один. Оттуда вы получаете четыре, которые быстро уменьшаются до одного. Так начинается цикл, который никогда не заканчивается.
Ограниченные прорывы с «Последовательностью града»
Другое название чисел, полученных в гипотезе Коллатца, - «последовательность градин». Как видно из приведенной выше последовательности, числа ходят вверх и вниз, вверх и вниз, как градины в грозовом облаке, поднимаясь вверх, собирая лед и, упав в нижнюю часть облака, снова уносится вверх. В какой-то момент они падают на землю. Есть определенные числа, которые, как только вы достигаете их в своих вычислениях, падают быстрее всего, но все они в конечном итоге падают до единицы.
Итак, гипотеза Коллатца работает для миллионов и миллионов чисел - любых, содержащих менее 19 цифр, на случай, если вы подумываете попытать счастья с чем-то меньшим, - но одна из проблем, которую математики пытаются решить, заключается в том, почему. Если бы они это понимали, то могли бы с уверенностью сказать, что это работает со всеми натуральными числами.
Гипотезу Коллатца сбивает с толку то, что она включает в себя бесконечное число целых чисел. Даже самый мощный суперкомпьютер не может проверить каждое число, чтобы убедиться, что гипотеза верна. По крайней мере, еще нет.
Один математик в последние годы совершил небольшой прорыв в отношении гипотезы Коллатца. Теренс Тао, один из самых одаренных математиков прошлого века, опубликовал в 2019 году статью под названием «Почти все орбиты Коллатца достигают почти ограниченных значений». Тао не дурак - он защитил докторскую диссертацию. из Принстона в возрасте 21 года и стал самым молодым профессором математики в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе в 24 года. Он выиграл медаль Филдса, высшую математическую награду во всей стране, в возрасте 31 года. содержит два слова "почти".
По сути, результаты Тао указывают на новый метод подхода к проблеме и отмечают, насколько редко числа отклоняются от правила Коллатца. Редкий, но не обязательно несуществующий.
И это, друзья, самое близкое к разгадке гипотезы Коллатца за последние годы. Помните, если вы собираетесь решить ее самостоятельно, начните с чисел, начинающихся как минимум с 20 цифр.
Интересно
Последняя теорема Ферма - математическая задача, которая оставалась нерешенной в течение 365 лет. Окончательно это было доказано в 1995 году.