В мега-бестселлере детективного триллера Дэна Брауна 2003 года «Код да Винчи» есть небольшая реплика между героем книги Робертом Лэнгдоном и криптографом Софи Невё, в которой она выражает скептицизм по поводу стоимости. верующих, живущих верой, которая включает в себя чудеса. Похоже, их реальность ложна», - усмехается она.
Лэнгдон смеется и говорит, что эти убеждения не более фальшивы, «чем убеждения математического криптографа, который верит в воображаемое число «i», потому что оно помогает ей взламывать коды».
Для тех из нас, кто не склонен к математике, шутка Лэнгдона немного озадачила. О чем, черт возьми, он говорит, когда говорит, что число мнимое? Как такое могло быть?
Однако, как оказалось, мнимое число - в основном число, которое при возведении в квадрат дает отрицательное число - на самом деле является математическим явлением, впервые обнаруженным еще в 1400-х и 1500-х годах как способ решить некоторые мучительные уравнения. Хотя изначально они считались своего рода салонным трюком, с тех пор они стали рассматриваться как инструмент для комплексного осмысления мира, и сегодня они полезны в самых разных областях, от электротехники до квантовой механики.
«Мы изобрели мнимые числа по тем же причинам, что и отрицательные», - объясняет Кристофер Мур. Он физик из Института Санта-Фе, независимого исследовательского учреждения в Нью-Мексико, и соавтор со Стефаном Мертенсом книги 2011 года «Природа вычислений».
«Начните с обычной арифметики, - продолжает Мур. «Сколько будет два минус семь? Если вы никогда не слышали об отрицательных числах, это не имеет смысла. Нет ответа. У вас не может быть отрицательных пяти яблок, верно? Но подумайте об этом так. Ты мог бы быть должен мне пять яблок или пять долларов. Когда люди начали заниматься бухгалтерским учетом и бухгалтерией, нам понадобилась эта концепция». Точно так же сегодня мы все знакомы с идеей, что если мы выпишем большие чеки, чтобы заплатить за вещи, но у нас недостаточно денег, чтобы покрыть их, мы могли бы отрицательный баланс на наших банковских счетах.
Креативное мышление имеет большое значение
Еще один способ взглянуть на отрицательные числа - и он пригодится позже - это подумать о прогулке по городскому району, говорит Мур. Если вы сделаете неправильный поворот и пойдете в противоположном направлении от пункта назначения - скажем, в пяти кварталах к югу, в то время как вы должны были идти на север - вы можете думать об этом как о пяти отрицательных кварталах на север.
«Изобретение отрицательных чисел расширяет вашу математическую вселенную и позволяет вам говорить о вещах, которые раньше были трудными», - говорит Мур.
Мнимые числа и комплексные числа, то есть числа, включающие мнимую составляющую, являются еще одним примером такого рода творческого мышления. Как объясняет это Мур: «Если я спрошу вас, чему равен квадратный корень из девяти, это будет легко, верно? Ответ - три, хотя это также может быть и минус три», поскольку умножение двух отрицательных значений дает положительный результат.
Но чему равен квадратный корень из отрицательной единицы? Есть ли число, которое при умножении само на себя дает отрицательную единицу? «На одном уровне такого числа нет», - говорит Мур.
Но математики эпохи Возрождения придумали хитрый способ обойти эту проблему. «До того, как мы изобрели отрицательные числа, не было такого числа, которое было бы два минус семь», - продолжает Мур. "Так что, возможно, мы должны изобрести число, которое является квадратным корнем из отрицательной единицы. Давайте дадим ему имя. i."
После того, как математики придумали концепцию мнимого числа, они обнаружили, что могут делать с ним действительно крутые вещи. Помните, что умножение положительного числа на отрицательное равно отрицательному, а умножение двух отрицательных чисел друг на друга дает положительное. Но что произойдет, если вы начнете умножать i на семь, а затем еще раз на i? Поскольку i умножить на i отрицательно один, ответ отрицательный семь. Но если вы умножите семь раз на i раз i раз i раз i, вдруг вы получите положительное число семь. «Они компенсируют друг друга», - отмечает Мур.
А теперь подумай об этом. Вы взяли воображаемое число, несколько раз подставили его в уравнение и в итоге получили реальное число, которое обычно используете в реальном мире.
Мнимые числа - это точки на плоскости
Только несколько сотен лет спустя, в начале 1800-х годов, математики открыли другой способ понимания мнимых чисел, рассматривая их как точки на плоскости, объясняет Марк Леви. Он профессор и заведующий кафедрой математики Пенсильванского государственного университета и автор книги 2012 года «Почему кошки приземляются на лапы: и 76 других физических парадоксов и загадок»."
Когда мы думаем о числах как о точках на линии, а затем добавляем второе измерение, «точки на этой плоскости - это мнимые числа», - говорит он.
Представьте числовой ряд. Когда вы думаете об отрицательном числе, оно находится на 180 градусов от положительных чисел на линии. «Когда вы умножаете два отрицательных числа, вы складываете их углы, 180 градусов плюс 180 градусов, и вы получаете 360 градусов. Вот почему оно положительное», - объясняет Леви.
Но вы не можете поместить квадратный корень из отрицательной единицы где-либо на оси X. Это просто не работает. Однако, если вы создадите ось Y, перпендикулярную X, у вас теперь будет место для ее размещения.
И хотя мнимые числа кажутся просто набором математических пустяков, на самом деле они очень полезны для некоторых важных расчетов в современном технологическом мире, таких как расчет потока воздуха над крылом самолета или вычисление утечка энергии из-за сопротивления в сочетании с колебаниями в электрической системе. И вымышленный Роберт Лэнгдон не шутил, когда упомянул, что они также используются в криптографии.
Комплексные числа с мнимыми компонентами также полезны в теоретической физике, объясняет Роландо Сомма, физик, работающий над алгоритмами квантовых вычислений в Лос-Аламосской национальной лаборатории.
«Из-за их связи с тригонометрическими функциями они полезны для описания, например, периодических функций», - говорит Сомма по электронной почте. «Они возникают как решения волновых уравнений, поэтому мы используем комплексные числа для описания различных волн, таких как электромагнитная волна. Таким образом, как и в математике, комплексное исчисление в физике - чрезвычайно полезный инструмент для упрощения вычислений».
Комплексные числа также играют роль в квантовой механике, теории, описывающей поведение природы в масштабе атомов и субатомных частиц.
«В квантовой механике «i» явно появляется в уравнении Шредингера», - объясняет Сомма. «Таким образом, комплексные числа играют более фундаментальную роль в квантовой механике, а не просто служат полезным вычислительным инструментом».
«Состояние квантовой системы описывается ее волновой функцией», - продолжает он. «В качестве решения уравнения Шредингера эта волновая функция представляет собой суперпозицию определенных состояний, и числа, появляющиеся в суперпозиции, являются комплексными. Интерференционные явления в квантовой физике, например, могут быть легко описаны с помощью комплексных чисел».
Интересно
Мнимые числа также упоминаются в романе Томаса Пинчона 2012 года «Против дня».