Если семена содержат 0,1% сорняков, какова вероятность при случайном отборе 2000 семян? - коротко
Вероятность обнаружить хотя бы одно семя сорняка при случайном отборе 2000 семян с содержанием 0,1% сорняков составляет примерно 86,5%.
Если семена содержат 0,1% сорняков, какова вероятность при случайном отборе 2000 семян? - развернуто
Вероятность случайного отбора семян сорняков из общей массы семян можно рассчитать, используя теорию вероятностей и биномиальное распределение. Исходные данные: доля семян сорняков составляет 0,1%, что эквивалентно 0,001 в десятичном виде. Общий объем выборки — 2000 семян.
Сначала определим ожидаемое количество семян сорняков в выборке. Для этого умножим общее количество семян на долю сорняков: 2000 × 0,001 = 2. Таким образом, в среднем можно ожидать, что в выборке из 2000 семян окажется 2 семени сорняков.
Для более точного расчета вероятности используется биномиальное распределение. Вероятность того, что в выборке из 2000 семян будет ровно k семян сорняков, вычисляется по формуле:
[ P(k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} ]
где ( n = 2000 ) — общее количество семян, ( p = 0,001 ) — вероятность того, что одно семя является сорняком, ( C(n, k) ) — число сочетаний из n по k.
Для примера, вероятность того, что в выборке не будет ни одного семени сорняков (k = 0):
[ P(0) = C(2000, 0) \times 0,001^0 \times (1-0,001)^{2000} ]
[ P(0) = 1 \times 1 \times 0,999^{2000} \approx 0,1353 ]
Таким образом, вероятность отсутствия сорняков в выборке составляет примерно 13,53%.
Вероятность того, что в выборке будет ровно одно семя сорняков (k = 1):
[ P(1) = C(2000, 1) \times 0,001^1 \times 0,999^{1999} ]
[ P(1) = 2000 \times 0,001 \times 0,999^{1999} \approx 0,2707 ]
Эта вероятность составляет примерно 27,07%.
Вероятность того, что в выборке будет ровно два семени сорняков (k = 2):
[ P(2) = C(2000, 2) \times 0,001^2 \times 0,999^{1998} ]
[ P(2) = \frac{2000 \times 1999}{2} \times 0,000001 \times 0,999^{1998} \approx 0,2707 ]
Эта вероятность также составляет примерно 27,07%.
Для расчета вероятности того, что в выборке будет не более двух семян сорняков, суммируем вероятности для k = 0, 1 и 2:
[ P(k \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) \approx 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767 ]
Таким образом, вероятность того, что в выборке из 2000 семян будет не более двух семян сорняков, составляет примерно 67,67%.
Эти расчеты позволяют сделать вывод, что при доле сорняков 0,1% в общей массе семян случайная выборка из 2000 семян с высокой вероятностью (около 67,67%) будет содержать не более двух семян сорняков.