Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков — какова вероятность при случайном отборе 1000 семян? - коротко
Вероятность того, что среди 1000 случайно отобранных семян окажется ровно 6 семян сорняков, можно рассчитать с использованием биномиального распределения.
Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков — какова вероятность при случайном отборе 1000 семян? - развернуто
Рассмотрим задачу определения вероятности случайного отбора 1000 семян, если известно, что 0,6% семян являются сорняками. Для решения задачи можно использовать биномиальное распределение, которое моделирует вероятность наступления определенного числа успехов в серии независимых испытаний. В данном случае успехом будем считать обнаружение семени сорняка.
Параметры биномиального распределения следующие: количество испытаний ( n = 1000 ), вероятность успеха в одном испытании ( p = 0,006 ). Вероятность того, что ровно ( k ) семян окажутся сорняками, вычисляется по формуле биномиального распределения: ( P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} ), где ( C_n^k ) — число сочетаний из ( n ) по ( k ).
Однако для больших значений ( n ) и малых ( p ) биномиальное распределение можно аппроксимировать распределением Пуассона. Это упрощает вычисления, так как формула Пуассона имеет вид: ( P(X = k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!} ), где ( \lambda = n \cdot p ). В данном случае ( \lambda = 1000 \cdot 0,006 = 6 ).
Теперь определим вероятность того, что среди 1000 семян будет хотя бы одно семя сорняка. Это можно выразить как ( P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) ). Используя распределение Пуассона, находим ( P(X = 0) = \frac{6^0 \cdot e^{-6}}{0!} = e^{-6} ). Таким образом, ( P(X \geq 1) = 1 - e^{-6} ). Подставляя значение ( e^{-6} \approx 0,0025 ), получаем ( P(X \geq 1) \approx 0,9975 ). Это означает, что вероятность обнаружить хотя бы одно семя сорняка при случайном отборе 1000 семян составляет примерно 99,75%.
Если необходимо найти вероятность обнаружения конкретного числа семян сорняков, например, ровно 6, используем формулу Пуассона: ( P(X = 6) = \frac{6^6 \cdot e^{-6}}{6!} ). Вычислив, получаем ( P(X = 6) \approx 0,1606 ), то есть вероятность составляет около 16,06%.
Таким образом, вероятность случайного отбора семян сорняков в выборке из 1000 семян может быть рассчитана с высокой точностью с использованием биномиального распределения или его аппроксимации распределением Пуассона.