Среди семян ржи 0,04% сорняков — какова вероятность при случайном отборе 5000 семян? - коротко
Вероятность обнаружения сорняков при случайном отборе 5000 семян ржи с долей 0,04% составляет примерно 86,5%, что соответствует закону больших чисел.
Среди семян ржи 0,04% сорняков — какова вероятность при случайном отборе 5000 семян? - развернуто
Рассмотрим задачу о вероятности обнаружения сорняков среди семян ржи. Дано, что доля сорняков в общем количестве семян составляет 0,04%. Необходимо определить вероятность того, что при случайном отборе 5000 семян будет обнаружено определенное количество сорняков.
Для решения задачи используем биномиальное распределение, которое описывает вероятность успеха в серии независимых испытаний. В данном случае "успех" — это попадание сорняка в выборку. Вероятность успеха для одного семени равна 0,0004 (0,04%). Количество испытаний — 5000 семян.
Биномиальное распределение задается формулой:
[ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, ]
где ( n = 5000 ), ( p = 0,0004 ), ( k ) — количество сорняков в выборке, ( C_n^k ) — число сочетаний из ( n ) по ( k ).
Однако при малых значениях ( p ) и больших ( n ) биномиальное распределение можно аппроксимировать распределением Пуассона. Это упрощает расчеты. Формула Пуассона:
[ P(k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}, ]
где ( \lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0004 = 2 ).
Теперь рассчитаем вероятность появления определенного количества сорняков. Например, вероятность того, что в выборке не будет ни одного сорняка (( k = 0 )):
[ P(0) = \frac{2^0 \cdot e^{-2}}{0!} = e^{-2} \approx 0,1353 ]
или 13,53%.
Вероятность появления одного сорняка (( k = 1 )):
[ P(1) = \frac{2^1 \cdot e^{-2}}{1!} = 2e^{-2} \approx 0,2707 ]
или 27,07%.
Вероятность появления двух сорняков (( k = 2 )):
[ P(2) = \frac{2^2 \cdot e^{-2}}{2!} = 2e^{-2} \approx 0,2707 ]
или 27,07%.
Вероятность появления трех сорняков (( k = 3 )):
[ P(3) = \frac{2^3 \cdot e^{-2}}{3!} = \frac{8e^{-2}}{6} \approx 0,1804 ]
или 18,04%.
Таким образом, наиболее вероятное количество сорняков в выборке — 1 или 2, с вероятностью около 27,07% для каждого случая. Вероятность отсутствия сорняков составляет 13,53%, а вероятность появления трех сорняков — 18,04%. С увеличением количества сорняков вероятность снижается.