Среди семян ржи 0,4% семян сорняков — какова вероятность, что среди 500 семян? - коротко
Вероятность того, что среди 500 семян ржи окажется хотя бы одно семя сорняка, составляет приблизительно 86,5%. Это следует из расчета с использованием биномиального распределения и параметра p = 0,004.
Среди семян ржи 0,4% семян сорняков — какова вероятность, что среди 500 семян? - развернуто
Для решения задачи о вероятности нахождения определенного количества семян сорняков среди 500 семян ржи, где доля сорняков составляет 0,4%, можно использовать биномиальное распределение. Это распределение позволяет рассчитать вероятность успеха в серии независимых испытаний. В данном случае успехом считается наличие семени сорняка, а вероятность успеха равна 0,004 (0,4%).
Биномиальное распределение задается формулой:
[ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, ]
где ( n = 500 ) — общее количество семян, ( p = 0,004 ) — вероятность семени быть сорняком, ( k ) — количество семян сорняков, вероятность которого необходимо найти, а ( C_n^k ) — число сочетаний из ( n ) по ( k ).
Для расчета вероятности конкретного числа семян сорняков, например, ( k = 0, 1, 2 ), подставим значения в формулу. Например, вероятность того, что среди 500 семян не будет ни одного сорняка (( k = 0 )):
[ P(0) = C_{500}^0 \cdot 0,004^0 \cdot (1 - 0,004)^{500} = 1 \cdot 1 \cdot 0,996^{500}. ]
Используя приближение ( 0,996^{500} \approx e^{-500 \cdot 0,004} = e^{-2} \approx 0,1353 ), получаем, что вероятность отсутствия сорняков составляет примерно 13,53%.
Аналогично можно рассчитать вероятность одного семени сорняка (( k = 1 )):
[ P(1) = C_{500}^1 \cdot 0,004^1 \cdot 0,996^{499} = 500 \cdot 0,004 \cdot 0,996^{499}. ]
С учетом приближения ( 0,996^{499} \approx e^{-1,996} \approx 0,1353 ), вероятность равна ( 500 \cdot 0,004 \cdot 0,1353 \approx 0,2706 ), то есть 27,06%.
Для больших значений ( k ) расчеты становятся сложнее, но их можно упростить с помощью нормального приближения или программных инструментов. В общем случае, вероятность нахождения определенного количества семян сорняков зависит от заданного ( k ) и уменьшается с его ростом. Среднее количество семян сорняков в выборке из 500 семян составляет ( \mu = n \cdot p = 500 \cdot 0,004 = 2 ), а дисперсия ( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 500 \cdot 0,004 \cdot 0,996 \approx 1,992 ).